量子谓词联结与非交换性

本页承接量子 Hoare 逻辑。effect 是满足 $0\preceq A\preceq I$ 的有界 Hermitian 算子；$\mathrm{tr}(A\rho)$ 是定量满足值，并不总是 0 或 1。已对照教材 §6.1 书页 94 和 §6.1.2 书页 100 的图片（PDF 4、10 页）。

四类联结

否定为 $I-A$。对归一化态有 $\mathrm{tr}((I-A)\rho)=1-\mathrm{tr}(A\rho)$；对部分密度算子，右侧的 1 必须改为 $\mathrm{tr}(\rho)$。

不同寄存器上的断言可取 $A\otimes B$。当输入也是积态时，满足值分解为 $\mathrm{tr}(A\rho_1)\mathrm{tr}(B\rho_2)$。纠缠输入一般没有这种乘积分解。相同空间中若 $A,B$ 不交换，$AB$ 甚至可能不是 Hermitian，因此不能当作通用合取。若交换，$AB$ 是 effect，但对一般 effect 不应把乘积与所有可能的逻辑交操作混同。

凸组合 $\sum_i p_iA_i$ 在 $p_i\geq0$、$\sum_i p_i\leq1$ 时仍是 effect。测量条件联结则为 $\sum_m M_m^\dagger A_mM_m$，其中 $\sum_mM_m^\dagger M_m=I$；它把测量结果选择的不同断言合并，而不是对同一输入直接作布尔析取。这些构造分别支持辅助规则与 case 规则。

一个非交换例子

取 $A=|0\rangle\langle0|$、$B=|+\rangle\langle+|$。则

两者不等，且 $AB$ 不是 Hermitian。断言都合法并不保证任意组合合法。

wp 与交换性

$\mathrm{wp}_{\mathcal E}(A)=\mathcal E^*(A)$，但一般完全正映射的伴随不是乘法同态。教材命题 6.5 给出更精确的分类：

• 酉变换：$[U^\dagger AU,U^\dagger BU]=U^\dagger[A,B]U$，所以交换性当且仅当原断言交换。
• 丢弃结果的投影测量：$\mathcal E^*(A)=\sum_kP_kAP_k$。两个结果交换当且仅当每个块 $P_kAP_k$ 与 $P_kBP_k$ 交换。
• 秩一正交基测量：变换后的所有断言均在同一基下对角化，故无论原来是否交换，输出断言都交换。

例如上一节的 $A,B$ 经计算基退相干后分别为 $A$ 和 $I/2$，因而交换。对于高秩投影，块内部仍有非交换自由度，不能沿用秩一结论。

一般量子操作的充分条件

教材 §6.1.2 还研究 Kraus 与系统—环境两种表示。若 $A,B$ 互相交换，并且分别与操作的一切 Kraus 算子交换，则其 wp 也交换（命题 6.8）。Kraus 表示虽不唯一，这个“与全部 Kraus 算子交换”的性质不依赖等价表示的选择（引理 6.5），其原因是不同 Kraus 列表可通过补零后的酉线性组合关联。

这些是充分条件，不能据此断言是所有量子操作的必要条件。第 6 章给出的其他谱条件和环境表示条件需要保留各自的有限维或压缩算子假设；它们不是“所有程序都会保持可同时观测性”的结论。

来源

Mingsheng Ying，Foundations of Quantum Programming, 2nd edition，§6.1、§6.1.2，例 6.1、命题 6.5、引理 6.5、命题 6.8。章节 DOI。