量子态与量子操作 · Quantum PL Wiki

量子态描述系统在给定实验设置下可获得的统计信息。纯态写成归一化向量 $\lvert\psi\rangle$ ，混合态用密度矩阵 $\rho$ 表示，其中 $\rho\succeq0$ 且 $\mathrm{tr}(\rho)=1$ 。例如 $\lvert+\rangle=(\lvert0\rangle+\lvert1\rangle)/\sqrt2$ ，其密度矩阵是 $\lvert+\rangle\langle+\rvert$ 。对可观测量 $A$ ，期望值为 $\mathrm{tr}(A\rho)$ 。态的基础表示见量子线路。

量子操作与测量

物理上允许的无条件演化通常是完全正且保持迹的映射（CPTP map），可写为

\mathcal E(\rho)=\sum_i K_i\rho K_i^\dagger,\qquad \sum_iK_i^\dagger K_i=I.

若只保留某个测量结果，映射可以是 trace-nonincreasing；结果 $i$ 的概率为 $p_i=\mathrm{tr}(K_i\rho K_i^\dagger)$ ，归一化后的条件态为 $K_i\rho K_i^\dagger/p_i$ 。对 $Z$ 基测量，投影算子为 $P_0=\lvert0\rangle\langle0\rvert$ 与 $P_1=\lvert1\rangle\langle1\rvert$ 。若测量结果被丢弃，必须把分支相加： $\rho'=P_0\rho P_0+P_1\rho P_1$ ；从 $\lvert+\rangle$ 开始时得到 $I/2$ ，而不是仍保有相干的 $\lvert+\rangle$ 。

例子与边界

Hadamard 门满足 $H\lvert0\rangle=\lvert+\rangle$ ，且 $H^\dagger H=I$ 。两个系统的联合态在张量积空间中表示，纠缠态一般不能写成两个单态的张量积。No-cloning theorem 禁止对未知量子态实现普适的 $\lvert\psi\rangle\lvert0\rangle\mapsto\lvert\psi\rangle\lvert\psi\rangle$ ；它不禁止复制已知的经典比特、复制测量结果，或对计算基中的正交态使用受限的复制操作。这里的公式是有限维、标准量子力学语境下的介绍，不替代具体硬件的噪声模型或完整证明。

参考文献：

Nielsen 与 Chuang，《Quantum Computation and Quantum Information》，Cambridge 官方页面。
Wootters 与 Zurek，A single quantum cannot be cloned，Nature DOI。